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习题24.1-24.4答案-人教版九年级上册数学书答案

习题24.1答案

1.已知:如图38所示,在⨀O中,AB为直径,CD为⨀O的任意一条弦(不是直径的弦).求证:AB>CD.

证明:连接OC,OD,在△OCD中,OC+OD>CD,即AB>CD.

习题24.1-24.4答案

 

2.解:(1)∵OA,OB是⨀O的半径,∴OA=OB=50mm,又∵AB=50mm,∴OA= OB =AB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60〬

(2)过点O作OC⊥AB,垂足为点C,如图39所示,则∠OCA=90〬,由垂径定理得,AC=CB=1/2AB,∵AB=50mm,∴AC= 25mm.在Rt△OAC中,OC²=OA²-AC²=50²-25²=25²×3, ∴OC= √(25²×3) = 25√3 (mm),即点O到AB的距离是25√3mm.

习题24.1-24.4答案

 

3. 解:∵⌒AB =⌒AC , ∴AB=AC, ∴∠B=∠C=75〬,∴∠A=180〬-75〬-75〬=30〬.即∠A的度数是30〬.

 

4. 解:⌒AB =⌒CD ,证明如下:∵AD=BC,∴⌒AD =⌒BC ,∴⌒AD +⌒AC =⌒BC +⌒AC ,即⌒DC = ⌒AB .

 

5. 解:如图40所示,连接OC . ∵ OA⊥BC , ∴ =⌒AB , ∴∠COA=∠AOB , ∵ ∠AOB =50〬,∴∠COA=50〬,∴∠ADC=1/2∠AOC=1/2×50〬=25〬,即∠ADC=25〬.

习题24.1-24.4答案

6.解:第二个(即中间的)工件是合格的,理由是90〬的圆周角所对的弦是直径.

 

7.已知:如图41所示,四边形ABCD为⨀O内接平行四边形,求证:◇ABCD为矩形.

习题24.1-24.4答案

证明:四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C.又∵四边形ABCD内接于⨀O,∴∠A+∠C=180〬,∴∠A=∠C=90〬,∴ ◇ABCD为矩形.

 

8.解:如图42所示,连接OC,设⨀O的半径为r,∵M为CD的中点,∴OM⊥CD,∴CM=1/2CD=1/2×4=2cm. 在Rt△CMO中,OC²-OM²=CM²,即r²-(6-r)²=2², r²-(36-12r+ r²)=4,12r=40,r=10/3,∴⨀O的半径为10/3 cm.

习题24.1-24.4答案

9.证明:如图43所示,过点O作OP⊥AB,垂足为点P,由垂径定理可知PA=PB,PC=PD,∴PA-PC=PB-PD,即AC=BD.

习题24.1-24.4答案

10.解:分两种情况讨论.①当AB、CD在点O的同侧时,如图44(1)所示,过点O作EF⊥AB,垂足为P₁,交⨀O于点E、F,交CD于P₂. ∵CD//AB,∴CD⊥EF,由垂径定理可知AP₁=BP₁=1/2AB=24×1/2=12(cm). CP₂=DP₂=1/2CD=5(cm). 连接OA,OC. 在Rt△AOP₁中,P₁O²=OA²-AP₁²,OA=13cm,AP₁=12cm,∴P₁O ²=13²-12²=25 ,∴P₁O=5cm, 同理,OP₂=√(OC^2-CP₂²)=√(〖13〗^2-5^2 )=12(cm), ∴P₁P₂=OP₂ - OP₁=12 -5=7(cm). ②当AB、CD在点O的两侧时,如图44(2)所示,与AB、CD在点O的同侧时的解法类似,可得OP₁=5cm , OP₂=12cm, ∴P₁P₂= OP₁+ OP₂=5+12=17(cm) , 即AB与CD的距离为7cm或17cm.

习题24.1-24.4答案

11.证明:∵AB//CD,⌒AC =⌒BD . 又∵MN是AB的垂直平分线,则有,MN过圆心O,是直径,∴⌒AM =⌒BM , ⌒AM -⌒AC =⌒BM -⌒BD ,即⌒CM =⌒DM , ∴MN垂直平分CD.

 

12.∵OC⊥AB,AB=300,∴由垂径定理,可知AD=DB=1/2AB=150,又∵CD=45,∴OD=OC-CD=OC-45,又∵OA,OC均为⨀O的半径,∴OA=OC,在Rt△AOD中,OA²=OD²+AD²,∴OC²=(OC-45)²+150²,∴OC=272.5(m). 答:这段弯路的半径是272.5m.

 

13.证明:连接OC,∵C是⌒AB 的中点,∴⌒AC =⌒BC ,∴∠AOC=∠BOC,又∵∠AOB=120〬, ∴∠AOC=∠BOC=1/2×120〬=60〬. 又∵OA=OC=OB, ∴△AOC与△BOC均是等边三角形,∴OA=AC=OC, BO=OC=BC, ∴OA=AC=BC=OB, ∴四边形OACB是菱形.

 

14.解:△ABC是等边三角形,证明如下:

∵∠APC=∠CPB=60〬,∴∠BAC=∠ABC=60〬,∵∠ACB=180〬-∠BAC-∠ABC = 180〬-60〬-60〬=60〬, ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC, ∴AB=BC=CA,∴△ABC是等边三角形.

 

15.解:OM<ON. 理由如下:如图45所示,连接OC,OA,则OA=OC. ∵ON⊥CD,OM⊥AB,∴CN=1/2CD,AM=1/2 AB,又∵CD<AB, ∴CN<AM, ∴CN²<AM².在Rt△OCN和Rt△OAM中,OM²=OA²-AM², ON²=OC²-CN²,∴OM²<ON²,∴OM<ON.

习题24.1-24.4答案

16.解:如图46所示,过点A作AB⊥ON,垂足为B,因为∠QON=30〬,OA=200m,∠OBA=90〬,所以AB=1/2OA=1/2×200=100(m),因为100m<200m,所以居民楼会受到噪音的影响.在MN上找到点C,使AC=200m,又OA=200m,则火车在铁路MN上沿ON方向行驶到点O处时,居民楼开始受到火车噪音的影响.由勾股定理,得OB²=OA²-AB²=200²-100²=30000,所以OB=100√3(m),同理BC= 100√3(m),所以OC=OB+BC=100√3+100√3=200√3(m),又(200√3÷1000)÷72×3600=10√3≈17.3(s),所以居民楼受噪音影响的时间约为17.3s.

习题24.1-24.4答案

17.解:同弧所对的圆外角小于相应地圆周角,因此只要航行中保持∠XPY<∠XZY,就能保证点P在⌒XY 所在的圆外,也就保证了船只不进入浅滩.

习题24.2答案

1.解:(1)点P在⨀O内. (2)点P在⨀O上. (3)点P在⨀O外.


2.提示:(1)相离. (2)相切. (3)相交.


3.解:(1)因为VU是⨀T的切线,U为切点,所以UT ⊥UV,所以∠VUT=90〬.在Rt△UVT中,∠UVT=90〬,UV=28cm, TU=25cm,所以VT²=UV²+TU²,即VT²=28²+25², 所以VT=√(〖28〗^2+〖25〗^2 )=√1409(cm).
(2)因为VU与VW均是⨀T的切线,所以∠UVT=∠TVW,∠TWV=90〬. 又因为∠UVW=60 〬,所以∠TVW = 1/2×60 〬=30 〬.在Rt△TVW中,∠TWV=90〬, ∠TVW =30 ,TW=25cm,所以TV=2WT=2×25=50(cm).


4.证明:连接OC. ∵OA=OB, ∴△OAB为等腰三角形,又∵CA=CB,∴OC⊥AB. ∵AB经过⨀O的半径OC的外端C,并且垂直于半径OC,∴AB是⨀O的切线.


5.证明:连接OP,因为AB是小圆O的切线,P为切点,所以OP⊥AB,又AB是大圆O的弦,所以由垂径定理可知AP=PB.


6.解:因为PA,PB是⨀O的切线,所以PA=PB,∠ PAB=∠PBA.又由题意知OA ⊥ PA,∠OAB=25〬,所以∠PAB=90〬-25〬=65〬.所以∠P=180〬-2∠PAB=180〬-65〬×2=50〬.


7.解:半径为4cm的圆可以做两个,半径为3cm的圆只能作一个,不能作出同时经过A,B两点,且半径为2cm的圆.


8.提示:锐角三角形的外心在这个三角形的内部;直角三角形的外心在这个直角三角形的斜边的中点;钝角三角形的外心在这个三角形的外部.


9.提示:可以在车轮上任意连接两点,作出它的中垂线,重复一次,则这两条中垂线的交点即为圆心,从而可确定它的半径.


10.解:设圆心为O,如图48所示,连接OW,OX,因为YW,YX均是⨀O的切线,W,X均为切点,所以OW⊥WY,OX⊥XY. 又因为XY⊥WY,所以∠OWY=∠OXY=∠WYX = 90 〬,所以四边形OXYW是矩形.又因为OW=OX,所以四边形OXYW是正方形,所以OW=WY=0.65m. 答:这个油桶的底面半径是哦0.65m.

习题24.1-24.4答案


11.解:连接OE,OG,则OE ⊥AB,OG⊥CD,又因为AB//CD,所以点E,O,G在同一直线上.由AB,CD,BC均是⨀O 的切线,可得∠BOC=90〬. 在Rt△BOC中,OB=6cm,CO=8cm,所以BC=√(OB^2+OC^2 )=√(6^2+8^2 )=10(cm). 答:BC的长是10cm.


12.证明:连接OC, ∵CD为⨀O的切线,C为切点,∴OC ⊥CD. 又∵AD⊥CD∴AD// OC , ∴∠ DAC= ∠OCA. ∵OA=OC, ∴∠OAC= ∠OCA. ∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB.


13.解:连接O₁B,O₁O₂,O₂A,O₂B. ∵两个圆是等圆,而⨀O ₁经过O ₂,故⨀O ₂过O₁, ∴ O₁A=O₂A=O₁B=O ₂B=O₁O ₂,∴ 四边形AO ₁BO ₂是菱形,又O₁O ₂= O₁A,∴△O₁A O ₂是等边三角形,∴∠O₁A O ₂=60〬. ∵AB是菱形AO₁BO ₂的对角线,∴∠O₁AB=1/2∠O₁A O ₂=1/2×60〬=30〬.


14.解:如图49所示,连接OA,OB,OC,设 ⨀O 与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F,连接OD,OE,OF,则OD ⊥AB,OE ⊥BC,OF ⊥AC,∴ S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC =1/2AB•OD +1/2 BC•OE+ 1/2 AC•OF=1/2 AB•r+ 1/2 BC•r+ 1/2 AC•r= 1/2 r(AB+BC+AC)=1/2 r(a+b+c) , 又∵S△ABC= 1/2AC•BC=1/2 ab,∴1/2 r(a+b+c)=1/2ab, ∴ r=ab/(a+b+c).

习题24.1-24.4答案

习题24.3答案

1.解:填表如下:
习题24.1-24.4答案
习题24.1-24.4答案


2.解:如图52所示,连接AC,∵∠D=90〬, ∴ AC为直径.在Rt△ACD中,AC=√(a^2+a^2 )=√2 a,∴ 半径至少为√2/2a.

习题24.1-24.4答案

3. 解:正多边形都是轴对称图形.当正多边形的边数为奇数时,对称轴条数与正多边形边数相等,是正多边形顶点与对边中点所在的直线;当正多边形的边数为偶数时,它的对称轴条数也与边数相等,分别是对边中点所在的直线和相对顶点所在的直线.正多边形不都是中心对称图形.当正多边形边数为偶数时,它是中心对称图形,对称中心是正多边形的中心;当正多边形的边数为奇数时,它不是中心对称图形.


4. 证明:∵ ABCDE为正五边形,∴ AB=BC=AE , ∠A= ∠B= ∠C. 又∵ L,H,I分别为AE,AB,BC边中点,∴ AL=AH=BH=BI=IC, ∴ △AHL≌△BIH≌△CJI, ∴ HL=HI=IJ . ∠AHL=∠BHI=∠BIH=∠CIJ, ∠LHI=180〬-∠AHL-∠BHI, ∠HIJ=180〬-∠BIH-CIJ, ∴∠LHI=∠HIJ.同理:LK=KJ=IJ=HI=HL, ∠HLK=∠LKJ=∠KJI=∠LHI=∠HIJ. ∴五边形HIJKL是正五边形.


5. 解:如图53所示,连接BF,过点A作AG ⊥ BF ,垂足为点G, 因为∠BAF=120〬,所以∠BAG=60〬,所以∠ABG=∠30〬.在Rt△ABG中,AB=12cm,∠AGB=90〬,∠ABG=30〬,所以AG=1/2AB=1/2×12=6(cm).由勾股定理,得BG= √(AB^2-AG^2 ) =√(〖12〗^2-6^2 )=6√3(mm),即b=BF=2BG=2×6√3=12√3(mm).答:扳手张开的开口b至少要12√3mm.

习题24.1-24.4答案

6. 解:设剪去的小直角三角形的两直角边长分别为xcm,xcm,由题意可知(4-2x)²=x²+x².解得x₁=4+2√2,x₂=4-2√2.因为x<4,所以x=4+2√2不符合题意,舍去,所以x=4-2√2.所以4-2x=4-2(4-2√2)=(4√2-4)cm,即这个正八边形的边长是(4√2-4) (cm),S正八边形=S正方形-4S小三角形=4²-4×1/2•x•x=16-2(4-2√2)²= 16 -2 (24-16√2) =(32√2-32) cm^2. 答:这个正八边形的边长为(4√2-4)cm,面积是(32√2-32)cm².


7. 解:①当用48cm长的篱笆围成一个正三角形时,边长为48÷3=16(m),此时 S△=1/2×16×8√3=64√3(m²).
②当围成一个正方形时,边长为48÷4=12(m),此时S正方形=12×12=144(m²).
③当围成一个正六边形时,边长为48 ÷6=8 (m),此时S正六边形=6×1/2 ×8 ×4√3=96√3 (m^2 ).
④当围成一个圆时,圆的半径为48/2π = 24/π (m),此时,S圆=π(24/π)^2=576/π (m^2 ).因为64√3<144<96√3<576/π,所以S圆最大. 答:用48cm长的篱笆围成一个圆形的绿化场地面积最大.


8. 提示:圆外切正三角形的边长为2√3R;圆外切正四边形的边长为2R;圆外切正六边形的边长为(2√3)/3R.

习题24.4答案

1. (1)6[提示:2.5π= (75π×R)/180,R=6.]

(2)150〬[提示:240π=1/2 × 20π×R,R=24,20π= (nπ×24)/180,n=150.]

(3)4/3[提示:2πr= (120π×4)/180,r=4/3.]


2. 解:这条传送带的长是一个圆的周长与两条平行线段的长度的和,C圆=πd=3π(m),∴ 传送带的长是3π+10×2=3π+20(m).


3. 解:(2 × 3.14 × 6370 × 1000)/(360 × 60)≈1852(m).

答:1n mile 约等于1852米.

4. 解:解法1:设图中阴影部分的面积为x,空白部分的面积为y,由图形的对称性可知习题24.1-24.4答案解得x=1/2 πa²-a².解法2 :S阴影= a²-2[a^2-π( a/2)²] =(π/2-1)a².解法3:S阴影=4×π/2×(a/2)²-a²=(π/2-1)a².


5. 提示:当沿BC边所在直线旋转时,得到一个底面半径为3,高为4的圆锥,它的全面积为24π.当沿AC边所在直线旋转时,得到一个底面半径为4,高为3的圆锥,它的全面积为36π.当沿AB边所在直线旋转时,得到两个圆锥的组合体,它的全面积为16.8π.


6. 解:3000+2×(90π×1000)/180≈6142(mm).答:图中管道的展直长度约为6142mm.


7. 解:由题意可知它能喷灌的草坪是一个形如圆心角为220〬,半径为20m的扇形,其面积S=(220×π×20²)/360=2200/9 πm².


8. 解:由题意可知S贴纸=S扇形BAC-S扇形DAE=(120π•AB^2)/360- (120π•AD^2)/360 =1/3 π(AB²-AD² )=1/3 π[30²-(30-20)²]=800/3 π(cm^2 ). 答:贴纸部分的面积是800/3 πcm^2.


9. 解:由圆锥的侧面展开图(扇形)的面积公式S=1/2lR可知所求面积为1/2×32×7= 112(m^2).答:所需油毡的面积至少为112m².


10. 解:连接AO,BC,因为∠BAC=90〬,所以BC是⨀O的直径,则BC=1m.因为AB =AC ,所以∠ABC=∠ACB=45〬,∠AOC=90〬,OB=OC可知OA=OC= 1/2 BC= 0.5m,由勾股定理,得AC=√(OA^2+OC^2 )=√(〖0.5〗^2+〖0.5〗^2 )=√2/2(m),所以l⌒BC = (90×π×√2/2)/180 =√2/4 π(m) ,S扇形BAC=(90π×(√2/2)²)/360=π/8(m²),所以被剪掉的部分的面积为π×(1/2)²-π/8 = π/8(m^2).设圆锥地面圆的半径为r m,则2πr= √2/4 π,所以r=√2/8(m).答:被剪掉的部分的面积为π/8 m²,圆锥底面圆的半径是√2/8m.

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